Родился 3 января 1990 года в посёлке Верхняя Арша Белорецкого района Башкирской АССР, ныне – Республики Башкортостан. В 1992 году семья переехала в город Белорецк. После восьмого класса поступил в Екатеринбургское суворовское военное училище.
С 2008 года – в Вооружённых силах Российской Федерации, курсант Рязанского высшего воздушно-десантного командного училища имени генерала армии В. Ф. Маргелова. После окончания училища в 2013 году распределён в 98-ю гвардейскую воздушно-десантную Свирскую Краснознамённую орденов Кутузова и Александра Невского дивизию. Служил в 331-м гвардейском парашютно-десантном ударном Костромском полку.
В 2014 году принимал участие в выполнении специальных задач, где зарекомендовал себя отлично подготовленным в профессиональном отношении офицером. Был назначен командиром 9-й парашютно-десантной роты. С 2018 года несколько раз выезжал в Сирию, где Россия с 2015 года проводит военную операцию против международных террористических формирований.
С 24 февраля 2022 года в составе своего подразделения принимал участие в специальной военной операции по защите Донецкой Народной Республики и Луганской Народной Республики. В июне 2022 года был тяжело ранен. Длительно лечился в госпитале, в период восстановления обучал молодых бойцов в Иванове. В начале 2023 года вернулся в зону СВО в должности начальника штаба парашютно-десантного батальона. В ходе боевых действий против Вооружённых сил Украины (ВСУ) неоднократно проявлял отвагу и доблесть, за что был награждён орденом Мужества и несколькими медалями. В 2023 году был назначен на должность командира 1-го парашютно-десантного батальона возрождённого в 2023 году 299-го гвардейского парашютно-десантного ордена Кутузова полка той же дивизии.
2 февраля 2024 года части ВСУ предприняли очередную попытку овладеть позициями, которые удерживал его батальон. Проведя мощную артиллерийскую подготовку, противник использовал задымление местности для сокрытия своих действий. В ходе подготовки к отражению атаки противника гвардии капитан М. Р. Рыбаков принял решение усилить наиболее неустойчивый участок обороны своего батальона общевойсковым резервом батальона, приняв командование в боевых порядках подразделения на себя. Благодаря грамотному манёвру и нестандартному подходу в применении миномётных расчётов и ствольной артиллерии с использованием засад из противотанковых расчётов, командир десантников отвлёк противника огнём из пулемётов крупного калибра и в итоге сорвал попытку противника перейти в атаку. Прикрывая отход своих подразделений, противник провёл огневой налёт, в результате которого офицер получил ранения, несовместимые с жизнью.
Похоронен 10 февраля 2024 года в городе Белорецке Республики Башкортостан.
Указом Президента Российской Федерации от 18 сентября 2024 года за мужество и героизм, проявленные при исполнении воинского долга, гвардии капитану Рыбакову Максиму Радиковичу присвоено звание Героя Российской Федерации.
