Алексей Александрович Асеев родился 14 марта 1922 года в Уфе, столице Башкирии.
В Красную армию его призвали в декабре 1942 года через Центральный районный военкомат Красноярска, после чего он был направлен на фронт.
Летом 1944 года в ходе Свирско-Петрозаводской операции действовали две армии южного крыла Карельского фронта: 7-я и 32-я. Основной удар наносила 7-я армия, которая была сосредоточена в районе города Лодейное Поле Ленинградской области и двигалась к берегу Ладоги. Для достижения этой цели она была усилена двумя стрелковыми корпусами, а также артиллерийскими, танковыми и инженерными подразделениями, выделенными из резерва Ставки Верховного Главнокомандующего.
21 июня 1944 года, в первый день наступления, красноармеец Асеев проявил выдающиеся умения и решительность. Будучи членом разведывательной группы, он во время подготовки к форсированию реки Свирь выявил расположение огневых точек противника на переднем крае. После переправы на вражеский берег, стойкий солдат, приняв первый удар неприятеля, быстро сориентировался в местности, используя свои разведывательные данные, и уничтожил пять огневых точек вместе с расчетами. Он также с точными выстрелами устранил несколько «кукушек», а троих финских солдат взял в плен.
В боях на третьей полосе обороны противника, при прорыве Видлицкого укрепленного района, стрелок 1063-го стрелкового полка 272-й стрелковой дивизии 7-й армии вновь проявил мужество. Он, преодолев проволочные барьеры под огнем, первым ворвался в траншею, ликвидировал расчет тяжелого пулемета и взял одного военнослужащего в плен. С той же смелостью он сражался и во второй траншее, где также уничтожил расчет вражеского пулемета. В этом бою 28 июня 1944 года Асеев получил тяжелое ранение, и после продолжительного лечения в тыловом госпитале был демобилизован из рядов Красной армии как инвалид войны.
21 июля 1944 года ему было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
С 1944 по 1946 годы он служил во Внутренних войсках НКВД СССР. С 1946 года Алексей Александрович Асеев жил и работал в Красноярске.
Награды: Медаль «Золотая Звезда» Героя Советского Союза (№ 3828) (21.07.1944); Орден Ленина; Медаль «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг.»; Юбилейная медаль «Двадцать лет Победы в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг.»; Юбилейная медаль «Тридцать лет Победы в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг.»
