Родился 17 июня 1921 года в городе Майкопе (ныне столица Республики Адыгея). В 1938 году окончил среднюю школу № 9. Работал продавцом на лесомебельном заводе, в июне 1939 года окончил Майкопский аэроклуб. С 1 августа 1939 года в рядах Красной Армии. В 1940 году окончил Таганрогскую военную авиационную школу пилотов и был оставлен в ней лётчиком-инструктором.
С июня 1942 года лейтенант Ф. И. Шикунов на фронтах Великой Отечественной войны, был лётчиком-инструктором 22-го запасного авиационного полка (6-я запасная авиационная бригада, ВВС Московского военного округа). В действующей армии с 5 октября 1943 года в должности командира звена 69-го Гвардейского истребительного авиационного полка (23-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 6-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 2-я Воздушная армия), летал на американской "Аэрокобре". В ноябре 1943 года назначен заместителем командира эскадрильи, в апреле 1944 года - командиром эскадрильи. К июлю 1944 года выполнил 128 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 18 самолётов противника. Представлялся к званию Героя Советского Союза, но тогда оно не было реализовано.
15 марта 1945 года Гвардии капитан Ф. И. Шикунов был сбит зенитным огнём при выполнении боевого задания по блокированию с воздуха немецкого аэродрома Нейссе в районе города Фридевальде. Похоронен на центральной площади города Бриг (ныне город Бжег в Опольском воеводстве Польши). К тому времени выполнил 212 боевых вылетов, в 52 воздушных боях лично сбил 21 самолёт противника (из них 3 - не подтверждено).
Погиб в боевом вылете 15 марта 1945 года — сбит зенитным огнём при блокировании немецкого аэродрома в районе населённого пункта Фридевальд. Похоронен на центральной площади города Бриг (ныне город Бжег, Опольское воеводство Польши).
2 мая 1996 года Указом Президента РФ № 619 ему посмертно присвоено звание Герой Российской Федерации.
Награждён орденами: Александра Невского (29.04.1944), Красного Знамени (21.06.1944, 22.10.1944), Отечественной войны 1-й степени (13.05.1945, посмертно), Красной Звезды (04.11.1943); медалями.
