В РККА с 1940 года. В 1942 году окончил Армавирскую военную авиационную школу пилотов.
Участник Великой Отечественной войны с июля 1942 года.
Стал заместителем командира эскадрильи 249-го истребительного авиационного полка 229-й истребительной авиационной дивизии 4-й воздушной армии. По данным на февраль 1944 года старший лейтенант Кулагин, обеспечивая боевые действия Отдельной Приморской армии, совершил 320 успешных боевых вылетов, в 160 воздушных боях сбил лично 22 и в составе группы 4 вражеских самолёта.
15 апреля 1944 года был ранен в ногу огнём зенитной артиллерии.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 1 июля 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм старшему лейтенанту Кулагину Андрею Михайловичу присвоено звание Героя Советского Союза.
Всего за годы войны Андрей Михайлович, совершив 762 успешных боевых вылета, принимая участие в 142 воздушных боях, сбил 32 самолётов противника лично и 7 — в групповых боях.
