Родился 30 октября 1921 года в городе Курске в семье рабочего. Русский. В 1936 году окончил среднюю школу. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года.
В рядах Красной армии с 1940 года. Окончил Чугуевское военное авиационное училище в 1940 году.
С декабря 1941 года на фронтах Великой Отечественной войны.
За два года войны (1942 и 1943) на Калининском и Центральном фронтах совершил 341 боевой вылет, проявляя в воздушных боях мужество и отвагу, лично сбил 12 самолётов противника и 14 самолётов в группе. За эти подвиги командиру звена 157-го истребительного авиационного полка (273-я истребительная авиационная дивизия, 6-й истребительный авиационный корпус, 16-я воздушная армия, Центральный фронт) младшему лейтенанту Боровых Андрею Егоровичу Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 августа 1943 года присвоено звание Героя Советского Союза, с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 1077).
К 1 ноября 1944 года командир эскадрильи капитан А. Е. Боровых выполнил ещё 96 боевых вылетов на истребителях Як-7, Як-9, Як-1 и Як-3. Проведя 49 воздушных боёв, лично сбил 20 самолётов противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 февраля 1945 года удостоен звания дважды Героя Советского Союза с вручением второй медали "Золотая Звезда" (№ 62/II).
20 февраля 1945 года лётчики полка передали самолёты Як-3 в другие части и убыли в город Львов для получения истребителей Як-9М. С 26 марта 1945 года вернулись на 1-й Белорусский фронт и возобновили боевую работу (в составе 234-й ИАД, 6-го ИАК, 16-й Воздушной армии).
К 9 мая 1945 года майор А. Е. Боровых совершил 475 боевых вылетов, провёл 113 воздушных боёв, сбил лично 27 и в составе группы 17 самолётов противника (в наградных материалах указывается на 32 личные и 14 групповых побед).
Сразу после окончания войны был откомандирован в Высшую офицерскую школу воздушного боя в подмосковные Люберцы, где во главе 9 лётчиков - Героев Советского Союза (А. Е. Боровых, В. Н. Кубарев, С. А. Кузнецов, А. Г. Кулиев, В. И. Меркулов, П. И. Муравьёв, Н. С. Павлушкин, Н. И. Свитенко и И. В. Фёдоров), готовил торжественный пролёт группы "Яков" при проведении Парада Победы над Красной площадью. К сожалению, воздушная часть парада была отменена из-за погодных условий.
Затем до июня 1946 года продолжал службу в ВВС заместителем командира по лётной части 157-го ИАП (в Германии), летал на Як-9М. С июня по декабрь 1946 года - командир 233-го ИАП (в Германии), где летал на Як-3. В 1951 году окончил Военно-Воздушную академию (в Монино). В июне 1951 года назначен заместителем командира 9-й ИАД (в Московском военном округе), летал на МиГ-15. С декабря 1951 года служил в авиации ПВО. С марта 1952 года по ноябрь 1955 года - командир 98-й Гвардейской ИАД ПВО (в Московском районе ПВО, с 1954 года - в Московском округе ПВО), летал на МиГ-15 и МиГ-17.
С 1959 по 1969 год командовал авиационными объединениями. В 1968 году присвоено воинское звание генерал-полковник авиации. В 1969—1977 годы — командующий авиацией Войск ПВО СССР.
С 1977 по 1988 год военный консультант Института военной истории МО СССР.
Депутат Верховного Совета СССР 2-го созыва. Заслуженный военный лётчик СССР (1966).
7 ноября 1989 года погиб в результате несчастного случая. Похоронен на Новодевичьем кладбище (участок 11).
Награждён орденами: Ленина (24.08.1943, 31.10.1967), Красного Знамени (22.06.1942, 06.11.1942, 09.07.1943, 31.07.1945, 22.02.1955), Александра Невского (22.06.1944), Отечественной войны 1-й степени (11.03.1985), Красной Звезды (26.10.1955, 29.10.1971, 16.02.1982), "За службу Родине в Вооружённых Силах ВС СССР" 3-й степени (30.04.1975), "Виртути Милитари" 5-й степени (06.04.1946, Польша), "За боевые заслуги" (06.07.1971, Монголия), "Возрождения Польши" 5-й степени (06.10.1973); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (19.11.1951).
